Сходимость модифицированного процесса

15. Доказательство, которое мы дали для сходимости LR-алгорифма, не годится для модифицированного процесса. Однако если сходимость к верхней треугольной форме действительно имеет место, и если ни одно из собственных значений не равно нулю, то очевидно, что перестановки в конечном счете должны быть прекращены, так как поддиагональные элементы стремятся к нулю. Это проиллюстрировано в примере § 14.

К несчастью, легко построить простые примеры, когда обычный LR-процесс сходится, а модифицированный не сходится. Рассмотрим, например, матрицу

Имеем

и перестановки нужны как при приведении так и Так как процесс зациклился, и сходимости нет. С другой стороны, обычный LR-алгорифм сходится и дает собственные значения в правильном порядке.

Мы вновь вернемся к этой проблеме в § 24 и покажем, что этот пример несходимости не столь неприятен, как кажется. Пока ограничимся замечанием, что, по нашему мнению, требование численной устойчивости является первостепенным, и поэтому следует пользоваться модифицированным процессом.