Комплексные эрмитовы матрицы

73. Методы, которые мы описали для вещественных симметричных матриц, имеют точные аналогии для комплексных эрмитовых матриц. Для методов Якоби и Гивенса, с одной стороны, и Хаусхолдера, с другой, нам потребуются комплексные унитарные матрицы из гл. 1, §§ 43, 44 и §§ 45, 46 соответственно. Наиболее естественное расширение формул, использованных в § 29, дает метод, в котором для определения каждой элементарной эрмитовой матрицы нужно два извлечения квадратного корня. Небольшая модификация уменьшает это требование до одного извлечения квадратного корня. В обозначениях § 29 мы теперь имеем

где мы выбрали знаки из соображений устойчивости.

Матрицы остаются эрмитовыми на всех этапах, какой бы из трех методов мы ни использовали. Метод Якоби дает в качестве предельной вещественную диагональную матрицу; согласно гл. 1, § 44 может быть показано, что и метод Гивенса дает вещественную трехдиагональную матрицу. Метод Хаусхолдера дает трехдиагональную эрмитову матрицу С, которая, вообще говоря, будет иметь комплексные виедиагональные элементы. Это следует из замечания в начале § 46 гл. 1. Мы имеем

и, следовательно,

Поэтому то, что комплексные, не имеет большого значения.

Оказалось неожиданным то, что мы встречали мало примеров комплексных эрмитовых матриц, несмотря на их важность в теоретической физике, и комплексные варианты наших программ не были сделаны. Как отмечалось в гл. 3, § 56, полная проблема для комплексной эрмитовой матрицы может быть сведена к полной проблеме для вещественной симметричной матрицы А, где

и на и DEUCE мы это делали. Мы знаем, что собственные значения А суть соответственно так что нам нужно лишь найти собственные значения трехдиагональной матрицы, полученной из А. Наличие совпадающих собственных значений не влияет на точность, с которой они определяются, и нужен лишь один вектор в подпространстве собственных векторов, соответствующих каждому двойному собственному значению. Все векторы в этом подпространстве соответствуют одному и тому комплексному собственному вектору матрицы Трехдиагональные матрицы, полученные по методам Гивенса или Хаусхолдера, должны расщепляться на две равные матрицы, но на практике это может происходить не всегда.

Однако матрица А требует вдвое больше памяти, чем и так как число умножений в преобразованиях как Гивенса, так и Хаусхолдера изменяется как куб порядка, то в преобразовании, будет в восемь раз больше вещественных умножений, чем комплексных умножений в преобразовании Так как одно комплексное умножение включает четыре вещественных умножения, то преобразование содержит лишь половину вычислений преобразования А по тому же самому методу. В преобразовании Гивенса два из четырех элементов каждого плоского вращения вещественные, за исключением элементов в плоскостях и если мы используем это, то число умножений в преобразовании матрицы уменьшится в 3/4 раза. Если требовалось большое число таких вычислений и если рассматриваемые матрицы были так велики, что становилась важной проблема размещения их в памяти, то эта причина могла бы стать очень веской для того, чтобы строить более сложные комплексные варианты.