Уравнения вида Ах = lВх и АВх = lх

68. В главе 1, §§ 31—33 мы рассматривали уравнения вида

и

где вещественные и симметричные и по крайней мере одна из них положительно определенная.

Мы показали, что если, например, В — положительно определенная и мы решили ее полную проблему собственных значений, так что

для некоторой ортогональной то (68.1) эквивалентно решению обычного уравнения

где

Если мы решали полную проблему для матрицы В методом Якоби, Гивенса или Хаусхолдера, то будем иметь в факторизованной форме, по которой может быть вычислена вещественная симметричная матрица Такие методы в действительности использовались для решения (68.1) и соответствующие методы для решения (68.2). Они численно устойчивы и имеют то преимущество, что для решения полной проблемы матриц дважды используется одна и та же программа. Однако объем работы значителен.

69. Следующий метод численно даже более устойчив и требует существенно меньшей работы. Для сравнения рассмотрим уравнение (68.2). Если В — положительно определенная, то с помощью разложения Холецкого имеем

с вещественной невырожденной нижней треугольной матрицей Следовательно, (68.2) может быть записано в виде

откуда

Поэтому, если суть собственное значение и собственный вектор матрицы то являются решениями уравнения (68.2).

Теперь мы знаем, что разложение Холецкого для матрицы В в высшей степени устойчиво, особенно если мы можем накапливать скалярные произведения. Далее, оно требует только умножений. При

вычислении по мы можем полностью использовать симметрию. Если обозначим

то есть симметричная матрица следовательно, нам нужен только нижний треугольник ее элементов. Но верхняя треугольная, поэтому при вычислении нижнего треугольника используется лишь нижний треугольник Следовательно, нам нужно вычислить только нижний треугольник матрицы из (69.4). Для его определения требуется умножений и еще умножений для определения нижнего треугольника матрицы Итак, получается из за умножений! Если на всех соответствующих этапах накапливаются скалярные произведения, то общее влияние ошибок округления будет удерживаться на очень низком уровне.

Обращаясь к уравнению (68.1), находим, что теперь требуется вычисление матрицы и решение треугольных систем уравнений. Мы снова можем накапливать скалярные произведения на всех соответствующих этапах и использовать симметрию окончательной матрицы. Здесь мы извлекаем существенную выгоду из высокой точности решения треугольных систем уравнений.

Когда плохо обусловлена в отношении обращения, то этот процесс для будет сам плохо обусловленным. Если мы предположим (без существенной потери общности), что то в плохо обусловленном случае будет намного больше чем Вообще говоря, исходное уравнение будет иметь несколько «больших» собственных значений, а остальные «нормальной величины»; последние будут определяться неточно по этому процессу. В пределе, когда В имеет нулевое собственное! значение кратности определитель матрицы будет полиномом степени ; поэтому имеет «бесконечных» собственных значений. Тем не менее конечные собственные значения матрицы в общем случае не будут чувствительны к возмущениям в плохое определение должно рассматриваться как слабость метода. Аналогичная трудность возникает и в том случае, когда В диагонализируетя, так как тогда имеет нулевых элементов. (Дальнейшие замечания с в конце этой главы.)