Комплексно сопряженные собственные значения

9. Если вещественная, но имеет одну или более пар комплексно сопряженных собственных значений, то очевидно, что матрицы не могут стремиться к верхней треугольной матрице, имеющей эти собственные значения на диагонали, так как все вещественные. Рассмотрим сначала случай, когда имеется одна пара комплексно сопряженных собственных значений а для остальных собственных значений при Будем предполагать, что ни один из ведущих миноров не равен нулю. Из (6.5) следует, что

точно так же, как и в предыдущем случае. Однако для в числителе и знаменателе имеются члены как с так и с Для изучения асимптотического поведения таких элементов удобно ввести упрощенные обозначения для миноров порядка матриц Положим

Вспоминая, что столбцы матрицы X и строки матрицы являются комплексно сопряженными, имеем

Уравнение (6.5) теперь дает

причем видно, что последовательность не сходится при Мы можем записать (9.4) в виде

тогда

Поэтому разность столбцов есть вектор, параллельный фиксированному вектору с компонентами Из определения и теоремы Сильвестра (см., например, Гантмахер (1967)) имеем:

Первый сомножитель не зависит от и так как

можно написать

10. Итак, доказано, что все столбцы кроме стремятся к пределу, а разность столбцов отличается лишь множителем от столбца Следовательно, так как

где элемент находится в позиции Из соотношения следует, что все строки стремятся к пределу, кроме строка отличается от строки на строку умноженную на Следовательно, последовательные стремятся к пределу, за исключением их строки и столбца. Далее, получается при разложении в произведение треугольных, и из предельной формы видно, что либо все поддиагональные элементы кроме стремятся к нулю, либо некоторые из диагональных элементов стремятся к бесконечности. Из могут быть выражены в виде

Выражение в правой части может принимать произвольно большие значения, если только не пред ставимо в виде где целые числа. Однако оно также принимает значения порядка для бесконечного числа значений Следовательно, мы можем исключить возможность стремления элементов к бесконечности.

11. Обобщая очевидным образом наши рассмотрения, можно получить следующие результаты.

Пусть А — вещественная матрица, и пусть собственные значения пронумерованы так, что причем типичное вещественное собственное значение обозначается через а типичная комплексно сопряженная пара — через и так что Если:

(i) , за исключением комплексно сопряженных пар;

(iii) на каждом шаге имеет разложение в произведение треугольных, то:

(i) , за исключением

(iii) все элементы стремятся к пределу, за исключением элементов строк с и столбцов ;

(iv) матрицы второго порядка

не сходятся, но их собственные значения сходятся к соответствующим ,

(у) элементы стремятся к пределам (6.7), за исключением элементов столбцов

Заметим, что LR-преобразование эффективно осуществляет приведение вещественной матрицы к виду, описанному в § 2.

12. Мы можем теперь попытаться оценить значение LR-алгорифма как практического приема. На первый взгляд он не слишком много обещающий по следующим причинам:

(i) Существуют матрицы, не имеющие разложения в произведение треугольных, несмотря на то, что для них проблема собственных значений хорошо обусловлена. Для таких матриц -алгорифм неприменим без некоторых модификаций. Кроме того, существует значительно более широкий класс матриц, для которых разложение в произведение треугольных численно неустойчиво. Численная неустойчивость может возникать на каждом шаге итерационного процесса и вести к значительной потере точности вычисленных собственных значений.

(ii) Объем вычислений очень велик. Каждый шаг итерации требует умножении, половина из них при разложении в произведение треугольных, а остальные при последующем перемножении.

(iii) Сходимость поддиагональных элементов к нулю зависит от отношений и может быть очень медленной, если собственные значения плохо отделены.

Поэтому если -алгорифм должен конкурировать с лучшими из методов, описанных в главах 6 и 7, то его нужно так модифицировать, чтобы он выдержал эту критику.