Нелинейные элементарные делители

62. До сих пор мы молчаливо предполагали, что матрица А имеет линейные делители. Когда матрица имеет нелинейные делители, то сразу же возникает дополнительная трудность, если мы используем алгорифм, который основывается на приведении исходной матрицы к одному из более простых видов. Даже если алгорифм вполне устойчив, то вычисленное преобразование будет точно подобно матрице где элементы будут в лучшем случае порядка элементов А, умноженных Как мы видели (гл. 2, § 19), собственные значения, соответствующие нелинейным делителям, могут быть очень чувствительны к возмущениям матрицы и, следовательно, собственные значения преобразованной матрицы могут иметь вполне достаточное разделение и независимые собственные векторы.

Предположим, например, что наша исходная матрица и ее жордаиова каноническая форма задаются так:

Очевидно, что матрица А имеет делители и При использовании десятизначного десятичного вычисления, даже очень устойчивый алгорифм может преобразовать А в матрицу, которая точно подобна В, а не В. Матрица В имеет простые собственные значения и 3, которые с точки зрения десятизначного вычисления достаточно хорошо разделены, и имеет три независимых собственных вектора. В результате

такого вычисления мы могли бы получить собственные значения и соответствующие собственные векторы

(Мы предполагаем ошибки порядка в третьем собственном значении и собственном векторе, так как они хорошо обусловлены.) Соответствующая матрица невязок такова:

Заметим, что хотя вычисленная собственная система имеет ошибки порядка матрица невязок имеет элементы порядка Обычно это будет верно для собственных систем, вычисленных по устойчивым методам. Действительно, если точные для вектор-невязка, соответствующий А, есть — следовательно, будет зависеть от величины

Однако, когда мы пытаемся вычислить неточность решения обнаруживается сама собой. Действительно,

где, обозначая через х,

Мы видим, что некоторые из элементов будут порядка Метод, описанный в гл. 4, § 69, дает решение с оценкой ошибки в этом случае порядка соответственно мы предполагали, что элементы ограничены величиной -

Теорема Гершгорина немедленно дает нам очень точную оценку для третьего собственного значения. При умножении строки 3 на и столбца 3 на 105 круги Гершгорина разделяются и третий имеет

Итак, мы локализовали собственное значение в круге с центром 3 и радиусом, меньшим чем несмотря на тот факт, что наша собственная система в значительной степени била неточной. Очевидно, что мы не можем получить столь точных оценок для двух других собственных значений без дальнейших вычислений.