Процесс Хессенберга в применении к нижней матрице Хессенберга
47. Мы установили в § 30, что если возьмем в § 
то процесс Хессенберга совпадает, даже в смысле ошибок округления, с прямым приведением без перестановок. Так как это верно в общем случае, в частности это верно, если исходная матрица взята в нижней форме Хессенберга. Несмотря на это соотношение, полезно описать приведение снова в терминах процесса Хессенберга.
Перед началом 
шага уже вычислены 
причем первые 
элементов 
равны нулю, а его 
элемент равен единице. На 
шаге вычисляем 
из соотношения
где 
определены так, чтобы 
был ортогонален к 
Если А — нижняя матрица Хессенберга, первые 
элемента 
равны нулю, и поэтому 
уже ортогонален 
следовательно, 
точностью до множителя 
определяется по 
вычитанием 
умноженного на 
и умноженного на 
так, чтобы 
элементы стали равными нулю. Множитель 
выбран так, что 
элемент 
равен единице. Очевидно, что матрица 
трехдиагональная. Если вектор справа в (47.1) не равен нулю, но его 
элемент равен нулю, то процесс срывается. Если весь вектор равен нулю, то в качестве 
можно взять любой вектор, ортогональный к 
элемент которого равен единице.
Если 
векторы 
совпадают со столбцами матрицы 
в процессах §§ 43, 44. Выбор в качестве 
любого другого вектора, первая компонента которого равна единице, эквивалентен, в терминах § 44, включению начального преобразования 
где первый столбец 
равен
