Преобразования подобия

5. Если мы выберем произвольные множители для так, что

то соотношения (4.8) и (5.1) будут означать, что матрица имеющая своей строкой, обратна матрице X, у которой столбец есть Все систем уравнений

могут быть записаны в матричной форме

Мы только что установили, что обратная матрица к матрице X существует равна Уравнение (5.3), следовательно, дает

Преобразование матрицы А, где неособенная, играет фундаментальную роль как с теоретической, так и с практической точки зрения, и оно известно как преобразование подобия, а матрицы называются подобными. Очевидно, что и также является преобразованием подобия А. Мы показали, что если собственные значения матрицы А различны, то существует преобразование подобия, которое приводит матрицу А к диагональной форме, и что столбцы матрицы преобразования равны собственным векторам А. С другой стороны, если мы имеем

то

Последнее уравнение означает, что числа — это собственные значения расположенные в некотором порядке, а столбец это собственный вектор, соответствующий

Собственные значения матрицы инвариантны при преобразовании подобия. Действительно, если

то

что

Таким образом, собственные значения сохранились, а собственные векторы умножились на

Многие численные методы нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы по существу состоят в нахождении преобразования подобия, которое приводит матрицу А общего вида к матрице В специального вида, для которой проблема собственных значений может быть решена более просто.

Преобразование подобия транзитивно, именно, если

то

Приведение матрицы общего вида к одной из специальных форм будет, вообще говоря, осуществляться при помощи последовательности простых преобразований подобия.