Численный пример

56. В табл. 10 показано применение этого метода к вычислению доминирующего собственного вектора матрицы Мы взяли (верное с 9 знаками) и показываем матрицу ведущих строк.

Таблица 10 (см. скан)

Для облегчения изложения мы не даем эту матрицу в форме (54.1), но выписали по столбцам. Перестановки имели место на каждом из первых 11 этапов, поэтому первые 11 ведущих строк имеют три ненулевых элемента. Далее перестановок не было. Заметим, что столбец и дает ведущие элементы, и ни один из них совсем не мал (ср. гл. 4, § 66). Точное вычисление для точного собственного значения должно бы дать нулевое значение для последнего ведущего элемента. Однако, даже если бы было выполнено точное вычисление с ведущие элементы должны были бы быть почти точно такими, как показаны (первые 11 элементов по-прежнему должны быть равны единице), за исключением двенадцатого, который может полностью отличаться. Мы должны иметь значение X значительно более точное, чем то, которое использовали, для того чтобы последний опорный элемент стал «малым». (Для более полного обсуждения этого примера см. Уилкинсон (1958а).)

Четвертый столбец табл. 10 дает вектор, полученный выполнением обратной подстановки с вектором в качестве правой части. Можно видеть, что некоторые компоненты х очень большие; согласно нашим замечаниям предыдущего параграфа, это означает, что нормированный х и X дают малый вектор-невязку. Следовательно, так как хорошо отделено от нормированный х является хорошим собственным вектором. В действительности он верен почти с 7 десятичными знаками.

Заметим, что не все компоненты были одинаково важны в обратной подстановке; последние 11 компонент совсем не существенны, и значения, которые они дают, становятся незначительными после нормировки. В действительности, если соответствующие вычисления выполняются по очереди для каждого собственного значения матрицы

находим, что для различных собственных векторов различные компоненты играют основную роль. Характеристикой эффективности метода может служить то, что, работая с -разрядной двоичной арифметикой, каждый собственный вектор матрицы был вычислен с 40 и более верными двоичными знаками после первой итерации и предельная точность была получена во второй итерации.

57. Естественно спросить, может ли процесс когда-нибудь оказаться несостоятельным и может ли быть получена последовательность значений, для которой (55.6) никогда не выполняется. Это кажется почти невозможным, так как может произойти лишь тогда, когда вектор который неявно используется в методе, содержит компоненту требуемого вектора порядка или меньше, и ошибки округления таковы, что эта компонента не увеличивается.

Этот метод с интересной стороны освещает смысл термина «плохо обусловлена». Матрицы которые мы используем, почти вырожденные, так как X является почти собственным значением. Поэтому численные решения, которые мы получаем из систем уравнений в общем случае неверны даже в своих самых старших знаках. Тем не менее, в отношении нормированного вектора процесс хорошо обусловлен, если только С не имеет более одного собственного значения, близкого к Даже в этом случае ошибки в собственных векторах соответствуют влиянию малых возмущений в элементах С.