Свойства спектрального числа обусловленности
31. Так как матрица 
не единственна (даже если собственные значения различны, каждый столбец может быть умножен на произвольный множитель), будем считать, что спектральное число обусловленности А по отношению к проблеме собственных значений — это наименьшее
значение к 
для всех допустимых 
. В любом случае имеем
Если А — нормальная (гл. 1, § 48) и, в частности, если она эрмитова или унитарная, мы можем взять 
унитарной, и тогда
Проблема собственных значений всегда поэтому хорошо обусловлена для нормальных матриц, хотя это не обязательно справедливо для проблемы собственных векторов.
Рассмотрим теперь соотношение между к 
и величинами 
которые управляют чувствительностью отдельных собственных значений. Нормированные правые и левые собственные векторы, соответствующие имеют вид
Следовательно,
и мы имеем
что дает
С другой стороны, мы можем взять столбцы 
в виде 
и строки 
в виде и при таком выборе 
Для полного знания чувствительности собственных значений А по отношению к возмущениям ее элементов нам требуется 
величин 
так как чувствительность отдельных собственных значений по отношению к возмущениям отдельных элементов А может меняться в широких пределах. Такой большой агрегат невозможно применять в практической работе. Подходящим компромиссом будет введение 
чисел 
и мы будем называть их 
числами обусловленности матрицы А по отношению к проблеме собственных значений. Надо, однако, заметить, что для того, чтобы найти приближенное значение к 
на практике мы обычно должны вычислить систему приближенных собственных векторов. Получив их, легче получить приближения к отдельным 
чем приближение к к 
