Общие замечания к несимметричному процессу Ланцоша

40. Хотя процесс Ланцоша дает нам трехдиагональную матрицу, т. е. очень сильное сокращение исходных данных, это может потребовать высокой платы в смысле численной устойчивости. Из-за этой потенциальной нестабильности процесс Ланцоша был запрограммирован с использованием арифметики с двойной точностью и с указанием допустимых значений для при нормированных Если модуль этого скалярного произведения оказывался меньше процесс вновь начинался с другими начальными векторами. Хотя такое повторение процесса случалось редко, умеренно малые значения довольно обычны; это показывает, что точность, достижимая при вычислениях с одинарной точностью, часто бывает недостаточной.

Полное число умножений с включением переортогонализации приблизительно равно и так как всюду проводится работа с двойной точностью, общий объем вычислений весьма значителен. Заметим, однако, что исходная матрица дается с обычной точностью, и следовательно, при образовании (что всегда включает умножений) нам нужно только перемножать элементы А, заданные с обычной точностью, на элементы заданные с двойной точностью. Мы покажем в § 49, что существует другой процесс, который в смысле устойчивости является полным эквивалентом процесса Ланцоша, и требует значительно меньшего объема работы. Ввиду этого мы не будем больше обсуждать несимметричный процесс Ланцоша,