Завершение методов Гивенса и Хаусхолдера

63. Для того чтобы завершить методы Гивенса и Хаусхолдера, мы должны получить собственные векторы исходной матрицы из собственных векторов трехдиагональной матрицы. Для метода Гивенса это почти идентично вычислению, описанному в § 16 в связи с методом Якоби. Если х есть собственный вектор матрицы С, то z, определенный равенством

где являются матрицами преобразования, есть собственный вектор матрицы общем случае имеется вращений и

вычисление каждого вектора z требует умножений. Если нужны все векторы, то эта часть вычислений требует около умножений. Для метода Хаусхолдера

где суть матрицы преобразования. Естественно, что каждая используется индивидуально в своей факторизованной форме или согласно формулам § 30 или § 33.

Если мы обозначим то для первой формулы имеем

Для восстановления каждого вектора требуется около умножений и, следовательно, умножений, если нужны все векторов. Заметим, что как для метода Гивенса, так и для метода Хаусхолдера восстановление всех векторов требует больше вычислений, чем приведение матрицы к трехдиагональной форме.

64. Восстановление начальных векторов численно устойчиво и не представляет какой-либо особенно интересной задачи; почти все, что нам требуется, охвачено анализом, который мы дали в главе 3. Мы можем излагать методы Гивенса и Хаусхолдера одновременно.

Пусть означает точное произведение точных ортогональных матриц, соответствующих вычисленным Тогда имеем

где для различных методов была найдена оценка Если х есть вычисленный нормированный собственный вектор матрицы С, то

где анализ ошибок дает оценку для Следовательно,

где может быть взята симметричной, если X есть отношение Релея, соответствующее х, и из гл. 3, § 56 имеем

Наконец, анализ гл. 3, §§ 23, 34 и 45 дает оценку вектора определенного через вычисленный вектор z равенством

Объединяя (64.1) и (64.3), получаем

Итак, есть точный собственный вектор симметричной матрицы, отличающейся от на возмущение, ограниченное по норме суммой в то время как z отличается от на Оценка для не зависит от обусловленности задачи определения собственных векторов.

Главная опасность для плохо обусловленных векторов исходит извозможного влияния симметричного возмущения Заметим, что зависит только от того метода, который мы используем для нахождения

собственных векторов матрицы С, тогда как зависят от метода трехдиагонализации. За исключением, возможно, метода Хаусхолдера, выполненного в плавающей запятой с накоплением, оценка ошибки вектора определяется оценкой для Для метода Хаусхолдера оценка настолько хороша, что ошибка за счет становится сравнимой.