Критерий достижения корня

45. Значительные трудности представляет вопрос о том, когда достигнутое итерационным процессом значение можно принять в качестве корня. Рассмотрим сначала упрощенную проблему, когда предполагается, что при вычислениях не делается ошибок округления, так что любая наперед заданная точность может быть достигнута при большом количестве шагов. Пусть вычисляется корень а. Для всех описанных методов в конечном счете

а для простых корней справедлив более сильный результат:

Следовательно, очевидным критерием будет

где это некоторая предписанная «малая» величина. Заметим, однако, что если этот критерий должен быть применим для кратных корней, необходимо брать значительно меньшим максимальной ошибки, которая приемлема в определяемом корне. Например, если а — корень кратности и используется метод Ньютона, то

и надо брать меньшим нашего предписанного значения ошибки по крайней мере в раз.

Заманчиво использовать какие-либо критерии, основанные на относительном изменении в текущей итерации, например

Для сходимости к корню конечно, такой критерий хорош, но если то

для простого корня. Если мы имеем дело с явным полиномом, то нулевые собственные значения легко определяются и отделяются. Следовательно, в этом случае, если все ненулевые корни простые, может быть использован соответствующий критерий.