Вещественные матрицы с комплексными собственными значениями

2. Неудобством приведения к матрице треугольного вида является то, что если вещественная матрица имеет несколько комплексно сопряженных собственных значений, то такое приведение переводит нас в поле комплексных чисел. Мы введем простую модификацию треугольной формы, которая позволит оставаться в поле вещественных чисел. Покажем, что если вещественная матрица А имеет собственные значения где — вещественные, то существует такая вещественная матрица , что матрица имеет вид

где это матрицы второго порядка, стоящие на диагонали В и имеющие собственные значения а остальные поддиагональные элементы В равны нулю. Матрица следовательно, отличается от треугольной тем, что она имеет вещественных поддиагональных элементов, по одному связанному с каждой Покажем далее, что может быть выбрана ортогональной.

Доказательство аналогично доказательству, приведенному в гл. 1, §§ 42, 47 для унитарного и неунитарного приведения к треугольному виду. Единственное отличие возникает из-за присутствия пар комплексно сопряженных собственных значений. В силу доказательства из главы 1 достаточно показать, что существует такая матрица что

так как дальше результат будет следовать по индукции. Мы можем показать это следующим образом.

Пусть собственные векторы, соответствующие Очевидно, что и должны быть линейно независимыми, так как иначе соответствующее собственное значение было бы вещественным, и мы имеем

Предположим, что можно найти такую неособенную 771? что

где неособенная матрица второго порядка. Тогда из (2.3) имеем

что

Следовательно, если положить

то уравнение (2.6) даст

откуда видно, что и что подобна и поэтому имеет собственные значения Любая для которой выполнено равенство (2.4), удовлетворяет, следовательно, нашим требованиям.

Построить такую можно либо в виде произведения вещественных устойчивых элементарных неунитарных матриц, либо в виде произведения вещественных плоских вращений или вещественных матриц отражения. Это становится очевидным, если взять в качестве первых двух столбцов матрицы порядка и рассмотреть ее приведение к треугольному виду по методу Гаусса с выбором главного элемента по столбцу или по методам Гивенса или Хаусхолдера. В каждом из этих случаев имеет вид

и ее неособенность следует из линейной независимости