Приближенные инвариантные подпространства

63. Едва ли будет неожиданным, что решение уравнения много больше, чем само так как два из столбцов матрицы в действительности были приближениями к единственному собственному вектору, соответствующему Чем больше точность, с которой мы работаем, тем ближе к вырожденной становится но мы получаем все лучшие и лучшие приближения к третьему собственному значению.

Если бы мы заранее знали, что матрица имеет квадратичный делитель, то было бы более полезно попытаться вычислить инвариантное подпространство, соответствующее двойному собственному значению. Говорят, что линейная оболочка, натянутая на векторы

образует инвариантное подпространство А порядка если лежат в этом же подпространстве. Простейший вид инвариантного подпространства есть подпространство, натянутое на единственный собственный вектор, соответствующий простому собственному значению. Очевидно, что подпространство, натянутое на корневые векторы, соответствующие нелинейному элементарному делителю, инвариантно. Хотя собственный вектор, соответствующий чувствителен к возмущениям, инвариантное подпространство второго порядка не чувствительно. Это подпространство натянуто на так как

Каждый из векторов из § 62 может быть представлен в виде следовательно, в пределах точности лежит в подпространстве. Однако отклонение от линейно зависимых определяется вектором, элементы которого лишь Так как в общем случае мы должны считать компоненты этих векторов с ошибкой в десятом знаке, то не определяют в действительности подпространство с рабочей точностью. Отметим, что анализ § 59 легко может быть распространен на случай, когда имеем вычисленные приближенные подпространства порядка больше первого. Например, если для матрицы А четвертого порядка

то

и в прежних обозначениях

Помимо случая нелинейных элементарных делителей, нас часто будет интересовать подпространство второго порядка, натянутое на пару комплексно сопряженных собственных векторов, соответствующих вещественной матрице. Если это векторы где вещественные, то подпространство, натянутое на инвариантно. Если

соответствующие собственные значения, то

Если мы пытаемся вычислить инвариантное подпространство, чтобы заменить из § 62, то, возвращаясь к несложной задаче § 62, можем, например, получить

и имеем

Итак, невязки имеют тот же порядок величины, что и в (62.3). Если мы закончим построение добавлением прежнего то

При этом

где

Теперь мы можем заключить третье собственное значение в круг с радиусом порядка 10-20 и находимся в лучших условиях, чтобы получить более точные оценки других собственных значений.