Структура матриц треугольного разложения

18. Для дальнейших приложений имеют большое значение соотношения между различными подматрицами и промежуточными Обозначим соответствующие разбиения этих матриц через

Здесь матрица с индексами имеет строк и столбцов. Мы будем обозначать соответственно через , если не хотим подчеркнуть их связь с выполнением алгорифма. Обозначения в (18.2) отражают тот факт, что первые строк не изменяются на последующих шагах; однако

мы видели, что строка также не изменяется на этих шагах, так что первые строки и совпадают. Из первых основных шагов имеем

откуда

учитывая свойство в отношении перемножения (гл. 1, § 41). Приравнивая клетки в (18.2), получаем

тогда как из последнего разбиения в (18.3) находим

Эти последние пять уравнений дают нам значительное количество информации. Первое показывает, что есть треугольное разложение главной подматрицы порядка матрицы Поэтому, осуществляя метод Гаусса, получаем по очереди треугольное разложение каждой из главных подматриц Далее, треугольные матрицы, соответствующие главной подматрице являются главными подматрицами окончательных треугольных матриц Последнее уравнение из (18.4) и (18.5) показывает, что

так что есть треугольное разложение квадратной матрицы порядка в нижнем правом углу матрицы