Минимаксные свойства собственных значений

43. Сейчас мы опишем характеристики собственных значений (см., например, Курант и Гильберт, 1953), свободные от недостатка, о котором мы говорили. Рассмотрим максимальное значение при условиях

где произвольные ненулевые векторы. Другими словами, рассмотрим лишь значения х, удовлетворяющие линейным условиям. Для всех значений х имеем

так что ограничена, и ее максимум является функцией компонент Теперь зададим вопрос: какое минимальное значение возможно для этого максимума при всевозможных выборах 5 векторов

Как и раньше, мы можем работать с определенными в (42.3). Соотношения (43.1) станут

Рассмотрим некоторый частный выбор Он даст нам соответствующую систему линейных однородных уравнений для переменных Если мы добавим соотношения

то получим однородное уравнение с переменными следовательно, существует по крайней мере одно ненулевое решение

которое можно нормировать так, что . При таком выборе у имеем

Это показывает, что при любом выборе существует и поэтому х, такой, для которого

и, следовательно,

Это означает, что

Однако если мы возьмем то и соотношения (43.3) станут

и, следовательно, для любых у при таком частном выборе имеем

что дает

Соотношения (43.8) и (43.12) вместе означают, что при таком выборе

и это значение достигается при у вида

Следовательно, кэгда х удовлетворяет линейным соотношениям, равен Этот результат известен как теорема Куранта—Фишера. Мы подчеркиваем, что показано существование по крайней мере одной системы и одного соответствующего х, для которых это минимаксное значение достигается.

Совершенно аналогичным образом можем доказать, что

при

Заметим, что в обеих характеристиках среди множеств есть такие, в которых некоторые равны, хотя, вообще говоря, действительная минимизация максимума достигается для системы различных Если мы имеем любые векторов то можно утверждать, что

при

даже если не все различны.