Обратные итерации с матрицами Хессенберга

54. Мы обсудили обратные итерации в связи с полной матрицей А. но на практике более удобно найти собственные векторы некоторой подготовленной матрицы В, которая является преобразованием подобия исходной матрицы, и по ним определить собственные векторы А. Сначала рассмотрим матрицы в верхней форме Хессенберга, так как существуют весьма устойчивые методы приведения матрицы к этой форме.

Разложение матрицы Хессенберга в произведение треугольных с использованием выбора главного элемента по столбцу было обсуждено в гл. 4, § 33. Оно особенно просто, так как, говоря в терминах метода Гаусса, существует только один отличный от нуля множитель на каждом шаге приведения. Всего требуется умножений по сравнению с для полной матрицы. Так как содержит лишь поддиагональных элементов, решение (см. уравнение требует умножений. Поэтому в каждой итерации требуется приблизительно умножений сравнительно с для полной матрицы.

Как в гл. 5, § 54, мы не будем предполагать начальный вектор и произвольным, а выберем его так, чтобы было

где вектор из единичных элементов. Следовательно, найдется как решение Если очень хорошее приближение к собственному значению, то обычно достаточно двух итераций. Если точное собственное значение и разложение в произведение треугольных выполнено точно, то один из диагональных элементов (последний, если среди поддиагональных элементов нет нулей) должен быть нулем. На практике, однако, может случиться, что ни один из вычисленных диагональных элементов не будет мал. Если диагональный элемент равен нулю, его можно заменить на но значительно более экономно использовать способ, описанный в § 55.

Мы упоминали здесь, что вектор, полученный по методу Химана (гл. 7, § 11), является точным собственным вектором, если величина есть точное собственное значение и вычисления выполнены точно. Однако, несмотря на то, что метод Химана определяет собственные значения очень устойчиво, определение собственного вектора часто крайне не устойчиво, и метод Химана нельзя использовать для этой цели. На самом деле, если трехдиагональная, вектор, полученный по методу Химана, в точности совпадает с вектором, полученным по методу гл. 5, § 48, а мы уже показали, почему он неустойчивый. При помощи совершенно такого же рассуждения можно показать, что вообще метод Химана дает плохое приближение к когда нормированный левый собственный вектор имеет малую первую компоненту. Это верно даже в том случае, когда метод Химана выполняется точно с использованием значения верного с рабочей точностью.