Экстремальные свойства собственных значений

42. Прежде чем дать минимаксные характеристики собственных значений, рассмотрим проблему определения максимального значения функции при ограничениях Ясно, что также удовлетворяет соотношению

Так как А — симметричная матрица, существует ортогональная матрица такая, что

Введем новые переменные полагая

Тогда

Так как (42.3) устанавливает взаимно однозначное соответствие между х и у, начальная задача эквивалентна задаче нахождения максимального значения условии Если мы предположим, что расположены в невозрастающем порядке, то ясно, что максимальное значение есть и оно достигается при соответствующий вектор х равен первому столбцу который является на самом деле собственным вектором А, соответствующим (Заметим, что если любой вектор единичной длины из подпространства, натянутого на Дает значение Аналогично есть минимальное значение при том же условии.

Рассмотрим ту же проблему максимизации при дополнительном условии, что х ортогонален к Из соотношения

видим, что соответствующее ограничение для у означает, что он должен иметь нулевую первую компоненту. Следовательно, максимальным значением при таком ограничении будет и оно достигается при значит, при Аналогично мы находим, что максимальное значение при дополнительных ограничениях равно и оно достигается при

Слабость такой характеристики собственных значений состоит в том, что определение каждого зависит от знания векторов которые являются собственными векторами А, соответствующими