Устойчивость унитарных преобразований

28. Как можно ожидать, унитарные исчерпывания § 25 также очень устойчивы и даже не страдают от опасности роста по величине элементов последовательно исчерпываемых матриц и ухудшения их обусловленности. Это не новый факт в анализе. Мы снова заметим, что X и суть точные собственное значение и собственный вектор и общий анализ главы 3 непосредственно приложим. Этот анализ в случае вычислений с фиксированной запятой и накоплением скалярных произведений был в деталях проведен Уилкинсоном

Для исчерпывания, использующего матрицы отражения с накоплением с плавающей запятой, анализ, приведенный в гл. 3, § 45, дает, что вычисленная в точности подобна где

Здесь а — вектор невязки на шаге. Следовательно, если мы итерируем до тех пор, пока вектор невязки не станет мал,

собственные значения сохраняются (в той мере, насколько они хорошо обусловлены), даже если принятые собственные векторы плохи.

Очевидно, что симметрия сохраняется. Некоторые трудности в анализе возникают из-за того, что где точный собственный вектор, не будет, вообще говоря, симметричной. Однако если мы возьмем X равным отношению Релея (гл. 3, § 54) для и, то следовательно,

Матрица в скобках уже будет в точности симметричной.

Мы знаем, пренебрегая ошибками округления, что индивидуальные числа обусловленности собственных значений инвариантны при унитарном исчерпывании, но это не совсем то, что нужно. На каждом этапе мы работаем не с целой матрицей а только с ее подматрицей где

верхняя треугольная матрица, имеющая вычисленные собственные значения в качестве диагональных элементов. Если собственное значение легко показать, что индивидуальное число обусловленности собственного значения по отношению к не меньше по модулю числа обусловленности по отношению к и, следовательно, к Действительно, если

то

что показывает, что Следовательно, вообще говоря, собственные значения менее чувствительны, чем собственные значения Повышенная чувствительность собственных значений является следствием возможных возмущений остальных трех подматриц. Мы не имеем таких хороших результатов в случае неунитарного исчерпывания, хотя эксперименты на показали, что числа обусловленности обычно показывают постоянное улучшение.

Число умножений при неунитарном исчерпывании равно приблизительно по сравнению с при унитарном исчерпывании, в то время как одна итерация требует приблизительно умножений, если полная матрица. Если требуется значительное количество итераций для нахождения каждого собственного вектора, то работа, связанная с исчерпыванием, составляет малую часть общей работы. В этом случае аргументы в пользу использования унитарных преобразований с их безусловной гарантией устойчивости очень сильны.