Метод Берстоу

33. В предыдущем параграфе мы ввели деление на чтобы вычислить значение для комплексного значения аргумента. Заметим однако, что рекуррентные соотношения для позволяют нам вычислить при корнях полинома независимо от того, являются ли они комплексно сопряженной парой или вещественными.

В методе Берстоу (1914) производится итерация прямо для вещественного квадратичного множителя Дифференцируя (31.9) по соответственно, получаем

что можно записать в виде

Следовательно, из (32.1) получаем

Используя метод Ньютона для исправления приближенного нуля выбираем так, что

при всех следовательно,

Решение может быть записано в виде

Так как в (33.7) были опущены члены и выше, этот метод дает квадратичную сходимость к квадратичному множителю. Даже в случае сходимости к квадратичному множителю с комплексными корнями, метод Берстоу не совпадает с методом Ньютона. В частности, если он применяется к полиномам второй степени, то он дает сходимость к верному множителю с произвольного начального приближения в одну итерацию. Метод Ньютона дает просто квадратичную сходимость.