Решение общей системы уравнений

63. Теперь вернемся к решению общей системы уравнений

Предположим, что А была приведена по некоторому методу к треугольному виду, и мы имеем матрицы такие, что

где оценка для зависит от особенностей триангуляризации. Если использовался некоторый выбор главного элемента, то А означает исходную-матрицу с соответственно переставленными строками. Чтобы найти решение, нужно решить две треугольные системы уравнений

Если мы используем х и у для обозначения вычисленных решений, то для плавающей арифметики с накоплением

с оценками для данными в (59.8), и соответствующими оценками для Следовательно, вычисленное х удовлетворяет системе

т. е.

где

Если мы предположим, что что использовался выбор главного элемента по столбцу и что все элементы оставались по модулю меньше единицы, то для вычислений с плавающей запятой и накоплением мы, например, имеем

Следовательно, при условии, что существенно меньше единицы, оценка приближенно равна Заметим, что одна треть этой оценки получается от ошибок триангуляризации, а две другие трети от ошибок при решении треугольных систем уравнений. Из (63.6) находим

причем последняя оценка имеет место, когда, например, Итак, мы имеем оценку невязки, которая зависит только от величины вычисленного решения, а не от его точности. Если А очень плохо обусловлена, то обычно вычисленное решение будет очень неточным, но тем не менее, если порядка единицы, то невязка будет самое большее порядка Это означает, что вычисленное х будет точным решением системы для некоторого 66, имеющего норму порядка не больше чем Опять, как и в § 60, поучительно сравнить эту невязку с невязкой, соответствующей правильно округленному решению. Верхняя оценка для нормы этой невязки равна так что оценка из (63.9). соответствующая вычисленному решению, лишь в три раза больше.