Кратные собственные значения и канонические формы матриц общего вида

6. Структура системы собственных векторов матрицы, у которой одно- или более собственных значений кратны, может быть далеко не так проста, как описано выше. Может все же оказаться, что существует преобразование подобия, которое приводит А к диагональной форме. Если это такг то для некоторой неособенной мы имеем

Числа должны быть собственными значениями А, и каждое должна встречаться с соответствующей кратностью. Действительно,

и, беря определитель от обеих частей, получаем

что

Поэтому суть корни характеристического уравнения А. Записав (6.1) в виде

мы видим, что столбцы являются собственными векторами А. Так как неособенная, ее столбцы линейно независимы. Если, например, — двукратный корень, то, обозначая первые два столбца через и получим

где линейно независимы. Из уравнений (6.6) следует, что любой вектор из подпространства, натянутого на также является собственным вектором. Действительно,

Совпадение корней у матрицы, которую можно привести к диагональной форме преобразованием подобия, приводит к неопределенности собственных векторов, соответствующих кратному корню. Мы все же можем выбрать в этом случае систему собственных векторов, на которые натянуто все -мерное пространство и которые можно использовать в качестве базиса для представления произвольного вектора. Так, диагональная матрица

имеет пять линейно независимых собственных векторов Любая линейная комбинация это собственный вектор, соответствующий и любая линейная комбинация и собственный вектор, соответствующий Для каждой матрицы, подобной существует неособенная такая, что

и собственные векторы А суть Любая линейная комбинация первых двух будет собственным вектором, соответствующим и любая линейная комбинация третьего и четвертого — собственным вектором, соответствующим