Неунитарные элементарные матрицы, аналогичные матрицам отражения
47. Аналогичным путем, рассматривая проблему § 37, мы можем ввести неунитарные матрицы, которые аналогичны матрицам отражения. Задача состоит в том, чтобы по заданному вектору х определить матрицу 
такую, чтобы 
имела нули в компонентах от 
до 
тогда как компоненты с 1-й по 
не изменяются. Пусть рассматривается левое умножение х на 
(гл. 1, § 40 (vi)). Если мы напишем
то
и беря
мы видим, что условия удовлетворяются, но элементы 
могут быть произвольно большими или даже бесконечными, и это будет приводить к численной неустойчивости. Устойчивость достигается следующим образом. Предположим, что максимум значения 
достигается для 
Тогда вектор у определяется равенством
т. е. получается из х перестановкой элементов 
Следовательног
и если мы теперь выберем 
так, чтобы 
имел нулевые компоненты в позициях от 
до 
, то имеем
и
Итак, матрица 
имеет элементы, которые по модулю ограничены единицей, и мы достигли в некоторой степени численной устойчивости. В действительности имеем
Обозначим матричное произведение 
через 
Если 
то берем 
Очевидно, что 
может быть использована для достижения такого же эффекта, как при произведении 
хотя, начиная с того же х, мы, вообще говоря, не будем иметь
Однако уравнение (47.9) будет удовлетворено, если не требуются перестановки. Процесс выбора в этом смысле наибольшего элемента из заданной совокупности обычно называется выбором главного элемента.
Аналогично алгорифмам, в которых мы используем совокупность матриц отражения 
имеющими нулевые компоненты в позициях с 1-й по 
мы имеем алгорифмы, в которых используем матрицы 
Мы опять, как правило, не сможем дать общий анализ ошибок, приводящий к оценкам, аналогичным тем, которые дали для преобразований, основанных на матрицах отражения. Будем называть 
устойчивыми элементарными матрицами.
Как и раньше, найдем, что существует несколько алгорифмов, основанных на элементарных подобных преобразованиях, в которых недопустимо использование перестановок на каждом шаге, так как это могло бы разрушить важную структуру нулей, полученных предыдущими преобразованиями. Некоторые алгорифмы могут быть неустойчивыми и нуждаются в тщательном рассмотрении. Они не имеют аналогов, основанных на матрицах отражения, так как их использование неизбежно уничтожало бы структуры нулей таким же образом, как и использование перестановок.
Повсюду в этой книге мы неоднократно будем сталкиваться с необходимостью выбора между использованием элементарных унитарных матриц и элементарных устойчивых матриц. Вообще говоря, элементарные устойчивые преобразования будут несколько проще, но, с другой стороны, мы не сможем дать для них столь хорошей гарантии численной устойчивости.
