Разложение Холецкого
42. Если матрица А симметричная и положительно определенная, то диагональные элементы 
могут быть выбраны таким образом, чтобы 
была вещественной и 
Доказательство проведем по индукции. Предположим, что это верно для матриц до 
порядка. Теперь, если 
есть положительно определенная матрица порядка 
мы можем написать
где 
матрица главного минора порядка 
и поэтому положительно определенная (гл. 1, § 27). Следовательно, по предположению, существует матрица такая, что
Очевидно, что 
невырожденная, так как 
поэтому существует вектор с такой, что
Для любого значения х
так что, если мы определим х соотношением
то имеем треугольное разложение 
Чтобы показать, что 
вещественное, возьмем определители от обеих частей (42.4), тогда
Правая часть положительная, потому что 
положительно определена, и, следовательно, 
вещественное и может быть взято положительным. Утверждение доказано, так как оно верно для 
Заметим, что
Итак, если 
то 
и далее
что показывает, что симметричное разложение может быть выполнено в арифметике с фиксированной запятой. Очевидно, что никаких перестановок не требуется. Это симметричное разложение предложено Холецким.
