ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ

Введение

1. В этой вводной главе мы дадим краткий обзор классической теории канонических форм и некоторых других теоретических вопросов, которые понадобятся при дальнейшем изложении.

Так как полное изложение выходит за рамки этой главы, мы сконцентрировали наше внимание на том, чтобы показать, как система собственных значений матрицы связана с ее различными каноническими формами. Поэтому изложение несколько отлично от стандартного. Не сделано попыток приводить строгие доказательства всех фундаментальных теорем; вместо этого мы довольствуемся формулировкой результатов, и даем доказательства лишь тогда, когда они особенно тесно связаны с техникой вычислений, используемой впоследствии.

Чтобы избежать повторения объяснений, введем здесь некоторые обозначения, которых будем придерживаться во всей книге.

Будем обозначать матрицы заглавными буквами и, если не оговорено противное, предполагать матрицы квадратными порядка Элемент матрицы А, стоящий в позиции будем обозначать через Векторы будем обозначать маленькими строчными буквами и обычно предполагать их -мерными; через будем обозначать компоненту вектора х. Будем обозначать единичную матрицу через полагая ее элемент равным символу Кронекера (а не так что

Через будет обозначаться столбец будет обозначать вектор у которого все компоненты равны единице.

Мы часто будем иметь дело с системой векторов В таком случае будет обозначать элемент матрицу, имеющую своим столбцом.

Обозначение будет сохранено для матрицы, у которой элемент равен и неравенство

будет обозначать» что

В силу того, что используется для обозначения нормы А (см. § 52), определитель А будет обозначаться через Аналогична диагональная матрица порядка, у которой элемент равен будет обозначаться через

Будем обозначать транспонированную матрицу через так что ее элемент равен а. Соответственно будет обозначать вектор-строку, у которой компонента равна Так как печатать вектор-строку более

удобно, чем вектор-столбец, мы часто будем вводить вектор-столбец х и затем определять его, задавая явное выражение для

Мы будем предполагать всюду, что работаем в поле комплексных чисел, хотя в вычислительных процедурах выгоднее оставаться в поле вещественных чисел, там, где это возможно.

Определения

2. Фундаментальная алгебраическая проблема собственных значений состоит в определении тех значений X, при которых система однородных линейных уравнений с неизвестными

имеет нетривиальное решение. Уравнение (2.1) может быть записано в форме

и при произвольном X эта система уравнений имеет только решение Из общей теории совместных линейных алгебраических уравнений известно, что нетривиальное решение существует тогда, и только тогда, когда матрица особенная, т. е.

Раскрывая определитель в левой части уравнения (2.3) по степеням X, получим

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением матрицы А, а полином в левой части этого уравнения называется характеристическим полиномом. Так как коэффициент при не нуль, и мы предполагаем что рассматривается поле комплексных чисел, это уравнение всегда имеет корней. Вообще говоря, корни могут быть комплексными, даже «ели матрица А вещественная, и корни могут быть любой кратности вплоть до Эти корни называются собственными значениями или характеристическими числами матрицы А.

Каждому собственному значению X соответствует по крайней мере одно нетривиальное решение х. Такое решение называется собственным вектором или характеристическим вектором, соответствующим этому собственному значению. Если ранг матрицы меньше чем то будет не менее двух линейно независимых векторов, удовлетворяющих уравнению (2.2). Мы детально обсудим этот вопрос в §§ 6—9. Очевидно, что если решение уравнения (2.2), то тоже решение при любом значении к, так что, даже если ранг равен собственный вектор, соответствующий X, определен с точностью до произвольного множителя. Удобно выбирать этот множитель так, чтобы собственный вектор имел желаемые численные свойства; такие векторы называются нормированными векторами. Наиболее удобными способами нормировки являются те, при которых:

(i) сумма квадратов модулей компонент равна единице;

(ii) наибольшая по модулю компонента вектора равна единице;

(iii) сумма модулей компонент равна единице.

Нормировки (i) и (iii) неудобны тем, что они не меняются при умножении вектора на комплексный множитель, по модулю равный единице.

Многие процессы, описанные в этой книге, приводят на первом этапе к ненормированным собственным векторам. Часто удобно умножать такие векторы на степени 10 (или 2) так, чтобы наибольшая компонента была по модулю между 0,1 и 1,0 (или 1/2 и 1). Такие векторы будем называть стандартизованными векторами.