Приведение нижней матрицы Хессенберга к трехдиагональному виду

43. Рассмотрим сначала приложение метода § 11 к матрице А в нижней форме Хессенберга, опуская на время вопрос перестановок. Следовательно, нам нужно найти единичную нижнюю треугольную матрицу первый столбец которой равен такую, что

где в верхней форме Хессенберга. Покажем, что в этом случае должна быть трехдиагональной. Нужно только показать, что так как мы знаем, что верхняя матрица Хессенберга.

Будем последовательно приравнивать элементы столбца в обеих частях уравнения (43.1). Так как А — нижняя матрица Хессенберга, нижняя треугольная, -элеменг равен нулю, если

Таким образом, мы последовательно имеем:

и результат доказан.

Для доказательства несущественно, что первый столбец равен Если мы возьмем в качестве первого столбца произвольный вектор с первым элементом, равным единице, то мы просто введем в каждое из уравнений (43.2), кроме первого, член Матрицы определятся целиком, и все равно будет трехдиагонального вида. Для отличных от нуля элементов столбца имеем:

а для отличных от нуля элементов столбца

Если какой-либо индекс больше соответствующий член опускается. Скалярные произведения могут накапливаться, как в § 11, но соотношения упрощаются в силу специальных форм Весь процесс требует приблизительно умножений.