Необходимые и достаточные условия положительной определенности

27. Обозначим через квадратичную форму, которая получится из если положить равными нулю. Тогда очевидно, — квадратичная форма переменных и матрица этой формы — это ведущая главная подматрица порядка

матрицы А. Ясно, что если положительно определенная, то и должна быть положительно определенной. Действительно, если существует ненулевая последовательность значений для которой неположительна, то неположительна для вектора х,

Следовательно, все ведущие главные миноры положительно определенной матрицы должны быть положительны.

Заметим, что точно таким же методом доказывается, что любая главная подматрица положительно определенной матрицы положительно определенная и, следовательно, имеет положительный определитель. Однако наличие положительных главных ведущих миноров является также и достаточным условием положительной определенности. Доказательство проводится по индукции.

Пусть утверждение справедливо для матриц порядка. Покажем, что оно верно для матриц порядка Предположим противное, что А — матрица порядка которой ведущих главных миноров положительны, причем А не положительно определенная. Если ортогональная матрица, для которой то, положив получим

По предположению, А не положительно определенная, и, следовательно, так как должно существовать четное число отрицательных Предположим, что отрицательны первые собственных значений. Рассмотрим систему уравнений

Так как линейные функции от имеем линейных однородных уравнений с неизвестными Поэтому существует по крайней мере одно ненулевое решение х, которое мы можем обозначить Соответствующее z также ненулевое, и мы его обозначим Для этих имеем

Теперь так как это означает, что отрицательна для вектора Это противоречит нашей гипотезе. Наш результат, очевидно, справедлив для матриц первого порядка и, следовательно, для матриц любого порядка.

Совершенно таким же способом, каким вещественной симметричной матрице мы сопоставили квадратичную форму, можно эрмитовой матрице сопоставить эрмитову форму:

Имеем

и, следовательно, вещественна. Концепция положительной определенности и другие подобные понятия легко переносятся на эрмитовы формы, и для них справедливы результаты, аналогичные доказанным для вещественных квадратичных форм.