Комплексные корни

29. До сих пор о комплексных корнях только упоминалось. Почти все методы, описанные выше как для вычисления значений и значений ее производных, так и для вычисления корней, непосредственно переносятся на вычисление комплексных собственных значений комплексных матриц. Просто вещественная арифметика заменяется комплексной. Так как комплексное умножение требует четыре вещественных умножения, обычно в комплексном случае в четыре раза больше работы.

Однако комплексные матрицы на практике встречаются сравнительно редко. Наиболее часто встречается ситуация, когда матрица вещественна, но некоторые ее собственные значения суть комплексно сопряженные пары. Естественно, можно работать в этом случае, рассматривая все величины как комплексные, но можно попытаться для уменьшения объема вычислений получить некоторые преимущества от этого специального обстоятельства.

Заметим сначала, что если мы локализовали комплексный корень, то его комплексное сопряжение также будет корнем. Следовательно, предполагая, что объем вычислений при одной комплексной итерации превосходит не более чем вдвое объем при одной вещественной итерации, мы можем найти два комплексно сопряженных корня за то же время, что и два вещественных корня.

Если мы вычисляем явный полином для комплексного значения z по схеме Гориера (см. § 2), то все значения кроме комплексные, и на каждой стадии надо производить настоящие комплексные умножения. Поэтому для получения одного значения требуется в четыре раза

больше работы, и тот факт, что вещественны, не дает преимуществ. В § 31 будет показано, как это обойти.

Для трехдиагональных матриц (ср. § 8), при

уравнения (8.2) станут такими:

Таким образом, здесь требуется шесть умножений по сравнению с двумя в вещественном случае.

Наконец, для матриц Хессенберга (ср. § 11), при

уравнения (11.5) заменяется на такие:

С точностью до наличия двух дополнительных членов здесь как раз вдвое больший объем вычислений. Это же замечание приложимо к продифференцированным уравнениям (11.7). Следовательно, в этом случае мы можем находить комплексно сопряженные пары корней с приблизительно той же эффективностью, как и два вещественных корня, без существенной модификации процедуры.

30. Можно было бы подумать, что анализ ошибок, проведенный в §§ 12, 13, неприменим в комплексном случае, так как может случиться, что каждое из уравнений в (29.4) определяет независимо эквивалентное возмущение каждого и что, вообще говоря, они не будут одинаковыми. Однако, эта трудность иллюзорна, и ее можно преодолеть, допуская комплексные возмущения во всех Для того чтобы избежать множества индексов, рассмотрим один отдельный элемент и предположим, что эквивалентные возмущения, соответствующие первому и второму уравнениям (29.4), равны соответственно и Мы хотим показать, что существуют такие гц и что

Очевидно,

что

Можно показать, что оценки ошибок, данные для вычислений с плавающей запятой с вещественными величинами, переносятся на случай комплексных величин без каких-либо существенных модификаций. Соответствующие результаты таковы:

где теперь, вообще говоря, комплексные. В этих результатах мы предполагаем, что ошибки округления в вещественной арифметике, которая необходима для этих комплексных вычислений, того же типа, который обсуждался в главе 3. Доказательство этих результатов оставлено для упражнений.