Нормальные матрицы

48. Мы доказали, что для любой эрмитовой матрицы существует унитарная матрица такая, что

где диагональная и вещественная. Сейчас мы рассмотрим расширение этого класса матриц, которое получается, если позволить быть комплексной. Другими словами, мы рассмотрим матрицы А, которые могут быть представлены в виде где унитарная и диагональная. Если

Следовательно, так как очевидно, равно Покажем обратное, т. е. покажем, что если

то А можно факторизовать, как в (48.2). Действительно, любая А может быть представлена в виде где унитарная, верхняя треугольная. Следовательно, мы имеем

что

Умножая слева на и справа на получаем

Приравнивая диагональные элементы, получаем, что все недиагональные элементы нули, так что диагональная. Следовательно, класс матриц, которые можно факторизовать в виде совпадает с классом матриц, для которых Такие матрицы называются нормальными матрицами. Из соотношения (48.5) очевидно, что в класс нормальных матриц входят матрицы, для которых

(i) (эрмитовы матрицы),

(ii) (косоэрмитовы матрицы),

(iii) (унитарные матрицы).

Из практики мы заметили, что задача об отыскании собственных значений косоэрмитовых и унитарных матриц возникает сравнительно редко.