Решения, соответствующие нелинейным элементарным делителям

29. Природу решений в случае, когда есть нелинейные элементарные делители, можно изучить в терминах жордановой канонической формы. Пусть X — матрица подобного преобразования, приводящего А к жордановой форме. Если мы введем новые переменные z, положив

то (28.2) перейдет в

или

Заметим, что матрица системы при этом претерпела преобразование подобия и превратилась в жорданову каноническую матрицу.

Предположим, например, что А — матрица шестого порядка с нижней жордановой канонической формой

Тогда уравнения (29.3) суть

Решениями первого, четвертого и шестого из этих уравнений будут

где произвольные постоянные. Общее решение второго уравнения имеет вид

третьего —

и пятого —

где произвольные постоянные. Общим решением системы, следовательно, будет

Заметим, что лишь три линейно независимых решения имеют чисто экспоненциальный вид. Именно:

как мы и могли ожидать, так как суть все собственные векторы жордановой канонической матрицы.

Общее решение исходной системы уравнений получается подстановкой z в (29.1). Если столбцы X обозначить общее решение (28.2) имеет вид

Результат в общем случае совершенно подобен этому.