Ошибки в подобных преобразованиях

26. Если есть -матрица, то очевидно, что существует точно такой же анализ ошибок для правого умножения на совокупность транспонированных приближенных вращений. Поэтому, если окончательная матрица, то, как и в (24.1), имеем

Теперь предположим, что мы начинаем с и выполняем левых умножений, чтобы получить Эта матрица имеет элементы с плавающей запятой и, следовательно, может быть использована как в (26.1); при этом

Кроме того, из (24.1) мы имеем в той же самой сокращенной записи

и, следовательно,

Объединяя эти результаты, мы получаем

показывая, что окончательная матрица отличается от точного подобного преобразования на матрицу с нормой, ограниченной величиной

Так как вычисленная матрица будет интересна только тогда, когда у мало, то наличие члена у в скобках (26.5) неважно, и относительная ошибка лишь вдвое больше, чем при односторонних преобразованиях, как мы и могли ожидать.

27. Существует несколько алгорифмов, в которых левые умножения заканчиваются прежде, чем выполнится какое-нибудь из правосторонних преобразований, но часто это невозможно, так как пара чисел, которая определяет вращение, берется из матрицы, полученной выполнением первых подобных преобразований.

Начиная с последовательность может быть определена так:

На первый взгляд кажется возможным, что выполнение правого умножения между двумя левыми могло нарушить прежнее особое соотношение между нормами строк которое было существенно при получении оценки. Однако рассмотрим эффект включения точного правого умножения на точное вращение между двумя левыми умножениями. Правое умножение действует на два столбца, оставляя норму каждой строки неизменной; далее, вклад ошибки, сделанной при любом левом умножении, зависит лишь от норм двух строк, которые оно изменяет, и, следовательно, включение любого числа точных правых умножений» не оказывает никакого влияния на оценку, полученную для ошибки. Это показывает, что порядок выполнения умножений дает эффект лишь второго порядка. Доказательство, аналогичное доказательству в § 23, показывает, что

Что касается множителя то его оценка несколько слаба и, возможно, может быть улучшена, но так как вычисление имеет ценность лишь тогда, когда существенно меньше единицы, то данный множитель никогда не может иметь практической важности.

Этот окончательный результат оправдывает для плоских вращений наше замечание в § 17, что ошибки округления, сделанные в действительных умножениях, не приводят к численной неустойчивости. Мы дали анализ большой общности, чтобы охватить широкий ряд возможных приложений. В большинстве алгорифмов последовательные преобразования будут иметь все больше и больше нулевых элементов, и, следовательно, для всякого специального приложения обычно может быть получена несколько лучшая оценка. Однако такие улучшения, как правило, делают более эффективным не основной член в оценке, а лишь постоянный множитель.