Свойство последовательности Штурма

37. Если мы обозначим главный минор порядка матрицы через то, определяя равным единице, имеем

Нули являются собственными значениями подматрицы главного минора порядка матрицы С, и следовательно, они вещественные. Обозначим эту матрицу через

Теперь мы знаем, что собственные значения, каждой разделяют собственные значения по крайней мере в слабом смысле (гл. 2, § 47).

Покажем, что если ни один из не равен нулю, то мы должны иметь строгое разделение. Если есть нуль полиномов то из (37.2) для и предположения, что не равно нулю, получаем, что есть также нуль полинома Следовательно, из (37.2) для вытекает, что является нулем Продолжая таким же путем, находим, что есть нуль а так как то мы пришли к противоречию.

Отсюда заключаем, что если симметричная матрица имеет собственное значение кратности к, то трехдиагональная матрица, полученная точным выполнением метода Гивенса или Хаусхолдера, должна иметь по крайней мере нулевых наддиагональных элементов. С другой стороны, присутствие нулевого наддиагонального элемента в трехдиагональной матрице не означает присутствия кратных корней.

38. Строгое разделение нулей симметричных трехдиагональных матриц с ненулевыми наддиагональными элементами составляет основу одного из самых эффективных методов определения собственных значений (Гивенс, 1954). Сначала докажем следующее предложение.

Пусть величины вычисляются для некоторого значения Тогда число совпадений знаков в последовательных членах этой последовательности, равно числу тех собственных значений матрицы С, которые строго больше, чем

Для того чтобы высказанное выше утверждение имело смысл для всех значений мы должны установить знак нулевого значения Если то должно быть взято с противоположным знаком по сравнению с (Заметим, что никакие два последовательных не могут быть равны нулю.)

Доказательство по индукции. Предположим, что число совпадений в последовательности равно числу тех собственных значений матрицы (т. е. числу нулей которые больше чем Тогда мы можем обозначить собственные значения через где

и нет ни одного совпадающего собственного значения, так как не равны нулю. Собственные значения матрицы разделяют собственные значения матрицы в строгом смысле, и следовательно,

Это показывает, что или или собственных значений больше чем Очевидно, мы имеем

Если ни одно из не равно то наш результат устанавливается немедленно. В этом случае, если то имеют один и тот же знак, и, следовательно, в увеличенном ряде на одно совпадение больше; если же то имеют различные знаки, поэтому увеличенная последовательность имеет то же самое число совпадений. В любом случае мы имеем соответствие с числом собственных значений, больших чем

Если то мы должны взять знак противоположным знаку (которое не может быть в данном случае равно нулю), так что увеличенный ряд имеет число совпадений, соответствующее числу собственных значений, строго больших

Если должна быть та ситуация, которая иллюстрируется рис. 2 для случая Знак нулевого значения должен быть взят противоположным знаку Из строгого разделения нулей следует, что по сравнению с полином должен иметь точно на один больше тех нулей, которые больше и точно на один больше тех нулей, которые меньше Следовательно, должно иметь противоположный знак по сравнению со знаком и поэтому тот же знак, который мы предположили Таким образом, число совпадений увеличилось на одно, и это соответствует тому, что число нулей, больших также увеличилось на 1.

Читателю следует проверить, что если нас интересуют только собственные значения самой матрицы С, то знаки, связанные с нулевыми значениями не играют никакой роли. Нужно лишь придерживаться строгого правила в отношении

Мы можем сказать, что полиномы обладают свойством последовательности Штурма.

Рис. 2.