Точное определение комплексно сопряженных собственных значений

35. Методы нескольких предыдущих параграфов позволяют определить комплексно сопряженные собственные значения вещественной матрицы А без заметной потери точности, если соответствующие собственные значения имеют малую мнимую часть (конечно, за исключением случая, когда А близка к матрице, имеющей квадратичный элементарный делитель). Опишем процесс, не включающий выбор главных элементов. На каждом шаге мы имеем дело с парой вещественных векторов в стандартной трапециевидной форме, так что

Вычислим и

и положим

Следующие векторы получаются приведением к стандартной трапециевидной форме.

Если доминирующими собственными значениями А является комплексно сопряженная пара то асимптотически

где матрица второго порядка, которая меняется с ростом 5, но имеет фиксированные собственные значения На каждом шаге определяем матрицу такую, что

и получаем последовательные приближения к из собственных значений матрицы

Можно подумать, что если мало, то мы будем терять точность при вычислении собственных значений но это будет не так, если являются хорошо обусловленными собственными значениями А. В этом случае окажется, что и будут близки к и будут малы. В самом деле, если стремится к нулю, то оба и становятся нулями в силу предположения, что А не имеет квадратичного делителя Векторы или обязательно порождают инвариантное подпространство точно, но, как мы видели в § 14, определение отдельных собственных векторов является плохо обусловленной проблемой. Если собственный вектор матрицы соответствующий имеет вид

то соответствующий собственный вектор А имеет вид

Естественно, что должен быть нормирован так, чтобы наибольший из был равен единице.

Для численной устойчивости исключения при приведении к трапециевидной форме существенно употребление схемы главных элементов. Заметим, однако, что единичные элементы в не должны обязательно быть на первых двух местах, более того, их позиции могут меняться с ростом Но матрица определяется четырьмя элементами из находящимися в тех же позициях, что и единичные элементы в

Этот метод содержит приблизительно вдвое больше вычислений, чем метод § 12, где мы пытались определить одной последовательности итерированных векторов.