Совпадающие и патологически близкие собственные значения
68. Описанные методы дают малые границы для ошибок для любого собственного значения, которое достаточно хорошо отделено от остальных. Если разделение двух или более собственных значений ухудшается, то и оценки ошибок тоже ухудшаются. Эти оценки могут быть исправлены следующим образом.
Рассмотрим матрицу 
где А — диагональная и 
имеют элементы порядка единицы. Предположим, что первые два диагональных элемента 
матрицы 
отделены величиной порядка 
Представим 
в виде
Если
то (68.1) можно записать в виде
где 
имеет элементы порядка единицы. Предположим теперь, что мы вычислили систему собственных значений и собственных векторов для 
так что
где 
порядка единицы. Тогда имеем
Снова можно ожидать, что элементы 
будут порядка единицы, если только проблема собственных значений для 
не слишком плохо обусловлена. Следовательно, положив
имеем
Вторая матрица имеет элементы порядка 
в верхнем левом углу и элементы порядка 
в остальных позициях.
Рассмотрим теперь специальный пример. Предположим, что матрица (68.7) имеет вид
Если мы умножим первые две строки на 
а первые два столбца — на 105, то круги Гершгорина будут:
Все три круга сейчас разделены, и первые два собственных значения даны с ошибкой порядка 
В этом примере мы опустили матрицу ошибок, соответствующую 
в соответствии с предыдущими рассмотрениями она имела бы элементы порядка 
Это дало бы вклад порядка 
в наши границы для ошибок.
Вообще говоря, если 
собственных значений патологически близки, то мы способны разделить их, решая независимую проблему собственных значений порядка 
используя ту же точность вычислений, что и в основной проблеме. Если два или более собственных значений на самом деле совпадают, то соответствующие круги будут продолжать пересекаться, но границы ошибок этим методом будут улучшаться.
