Круги Гершгорина
8. Предположим, что собственные значения матрицы
различны, что
и что мы уже получили матрицу
для которой
где
В этом случае круги Гершгорина обязательно разделены, так как
Поэтому имеем
Теперь, если умножим строку
на
и столбец
на
то
круг Гершгорина будет содержаться в круге
тогда как оставшиеся будут содержаться в кругах
Очевидно, что
круг изолирован от остальных, поэтому из (8.6) мы видим, что когда абсолютные значения внедиагональных элементов становятся меньше
при достаточно малом 8 диагональные элементы отличаются от собственных значений на величины порядка
Заметим, что если А имеет несколько кратных собственных значений, то мы все же можем получить тот же результат для любого из простых собственных значений.