Жорданова (классическая) каноническая форма

8. Мы видим, что матрица с кратными собственными значениями не обязательно подобна диагональной матрице. Естествен вопрос, к какой наиболее компактной форме может быть приведена матрица А с помощью преобразования подобия. Ответ содержится в следующей теореме.

Пусть А — матрица порядка различными собственными значениями - кратностей таких, что

Тогда существует преобразование подобия с матрицей такое, что матрица состоит из простых жордановых подматриц, размещенных вдоль диагонали, а все ее остальные элементы равны нулю. Сумма порядков подматриц, связанных с равна С точностью до порядка размещения подматриц вдоль диагонали преобразующая матрицу единственна. Будем говорить, что есть прямая сумма простых жордановых подматриц.

Так, матрица шестого порядка с пятикратным собственным значением и однократным подобная матрице

не может быть также подобна матрице вида

хотя эта матрица также имеет пять корней, равных и один, равный

Матрица, состоящая из простых жордановых подматриц, называется жордановой канонической формой или классической канонической формой матрицы А.

В частном случае, когда все жордановы подматрицы первого порядка, эта форма становится диагональной. Мы уже видели, что если все собственные значения матрицы различны, то ее жорданова каноническая форма есть диагональная матрица

Общее число линейно независимых собственных векторов равно числу подматриц в жордановой канонической матрице. Так, матрица которая может быть приведена к С, определенной в (8.2), имеет четыре линейно независимых собственных вектора. Собственные векторы С — это следовательно, собственные векторы

и Собственному значению кратность которого равна пяти, соответствуют только три собственных вектора.

Не будем доказывать существование и единственность жордановой канонической формы, так как метод доказательства имеет мало общего с методами, описанными в последующих главах. Отметим только, что в простых жордановых подматрицах порядка мы взчяли элементы, равные единице, лежащими над диагональю. Существует соответствующая форма, когда эти элементы взяты лежащими под диагональю. Будем называть форму (7.4) верхней жордановой формой, а другую форму — нижней жордановой формой. Выбор значения единица для этих элементов не играет особой роли. Ясно, что подходящим преобразованием подобия с диагональной матрицей эти элементы можно сделать произвольными, величинами, не равными нулю.