Возмущения первого порядка собственных значений
8. Сейчас мы выведем точное выражение для возмущения первого порядка в терминах 
Сначала введем величины 
которые будут часто использоваться в дальнейшем. Они определяются соотношением
где 
нормированные левые и правые векторы. Если 
вещественны, то 
есть косинус угла между этими векторами.
Если имеются кратные собственные значения, соответствующие 
не будут однозначно определены. В этом случае предполагаем, что 
которые мы используем, соответствуют некоторому выбору 
Даже когда 
соответствуют простому 
они определены с точностью до комплексного множителя, равного по модулю единице, но в этом случае величина 
будет полностью определена. В любом случае имеем
Определим также величины соотношениями
Так как 
мы имеем
9. По определению
и так как 
и все компоненты 
представляются сходящимися степенными рядами, мы можем приравнять члены при одинаковых степенях 
в этом уравнении. Приравнивая коэффициенты при 
и используя (5.5) и (7.5), получим
или
Умножая слева на 
и помня, что 
получим
и, следовательно, из (8.4)
При достаточно малом 
главный член в возмущении 
равен 
так что чувствительность этого собственного значения в первую очередь зависит от К сожалению, 
могут быть произвольно малыми.
