Несимметричные ленточные матрицы
66. Если мы используем обычную -технику без перестановок, то ленточная форма сохраняется. На самом деле ленточные матрицы даже не должны иметь одинаковое число элементов с каждой стороны диагонали. Однако численная устойчивость уже не обеспечивается, и мы не можем, вообще говоря, рекомендовать такое использование -алгорифма. Если используется -алгорифм с перестановками или -алгорифм, то, вообще говоря, ленточная форма над диагональю постепенно портится.
Особенно интересен случай трехдиагональной матрицы А. Сравним две последовательности трехдиагональных матриц полученных следующим образом. В первой начнем с и используем -разложение (без перестановок), в котором каждая единичная нижняя треугольная. Во второй начнем с некоторая диагональная матрица, и используем любой другой тип -разложения (без перестановок). Доказательство § 52 показывает, что на соответствующих стадиях мы имеем
с некоторой диагональной матрицей Если
то из (66.1) найдем
Следовательно, какое бы треугольное разложение мы ни использовали, диагональные элементы и произведения симметрично расположенных внедиагональных элементов совпадают, а это те величины, которые определяют проблему собственных значений для Поэтому без потери общности мы моячем выбрать так, что
и затем использовать -разложение с единичной нижней треугольной на каждой стадии. Если
то
и, следовательно,
Эти уравнения показывают, что после вычисления остальные могут быть определены без вычисления В самом деле, если мы рассматриваем как нуль при всех то имеем схему
в которой каждая наклонная линия с верхним индексом 5 может быть получена по выше лежащей наклонной линии, если использовать уравнения (66.7), причем связанные элементы размещаются по вершинам ромбов того типа, какой мы отметили. Читатель, знакомый с -алгорифмом, заметит, что это Рутисхаузера. Алгорифм играет значительно большую роль в общей проблеме вычисления нулей мероморфных функций, и полное обсуждение его выходит за рамки этой книги.
С точки зрения вышеописанной проблемы -алгорифм кажется неподходящим, так как он соответствует исключению элементов без перестановок. Однако мы знаем, что если положительно определенная, и мы все время используем разложение Холецкого, то численная устойчивость гарантируется. Если