Оценки ошибок для некоторых основных вычислений с плавающей запятой

6. Сформулируем сейчас без доказательства следующие результаты:

где

где

Здесь предположено, что операции выполняются в таком порядке:

где

Мы можем написать

где

Полезным следствием этого основного результата является

где

Следовательно,

Поэтому мы имеем

Этот результат верен только для того специального процесса округления, который мы выбрали, и далек от верного для других процессов. Он нам будет не очень полезен. Однако (6.15) несомненно означает, что

а это непосредственно распространяется на все процессы округления, которые я рассмотрел, если только в эту оценку включить еще и дополнительный множитель, например,

где

и

Отсюда

где есть диагональная матрица, имеющая элементы

где

Следовательно,

где

Отсюда

Оценки норм матриц ошибок

7. В приложениях результатов, которые мы только что получили, нам часто будут нужны оценки для какой-нибудь нормы матрицы ошибок. Если, например, мы возьмем оценку (6.20) ошибки в матрице произведения, то

и, следовательно, для евклидовой, 1-нормы и -нормы мы имеем

но для -нормы только

В действительности оценка в (7.3) слаба в сравнении с

так как

Мы часто будем убеждаться, что оценки, полученные с использованием -нормы, слабее, чем оценки, полученные с использованием евклидовой нормы. Заметим, однако, что если имеют неотрицательные элементы, то

и этот результат сильнее, чем результат из (7.4).