например, при 
имеем
Можно сказать, что главный ведущий минор порядка 
уже приведен к форме Хессенберга, и эта часть не меняется при дальнейших шагах.
Основной 
шаг состоит из 
вспомогательных шагов, в которых последовательно аннулируются элементы в позициях 
столбца. Нуль в 
позиции получается при помощи вращения в плоскости 
. В (2.1) подчеркнуты элементы, которые нужно аннулировать, и отмечены стрелками строки и столбцы, которые при этом меняются. Основной 
шаг может быть описан на общепонятном алгорифмическом языке следующим образом:
Для всех 
от 
до 
выполнить шаги от (i) до (iv):
(i) вычислить 
;
(ii) вычислить 
(Если 
взять 
и опустить 
Записать x на место 
и нуль на место 
;
(iii) для всех значений 
от 
до 
вычислить 
и записать на место 
соответственно;
(iv) для всех значений 
от 1 до 
вычислить а 
и записать на место 
и место 
соответственно.
Шаг (iii) описывает эффект умножения слева, а шаг (iv) - умножения справа на вращение в плоскости 
Это преобразование можно сравнить с соответствующим симметричным случаем, описанным в гл. 5, § 22. Из-за отсутствия симметрии требуется преобразование и строк и столбцов. Полное количество умножений приблизительно равно
тогда как в симметричном случае метода Гивенса 
Заметим, что теперь нет места для запоминания величин 
в позициях, в которых получаются нули, так как получение нуля в позиции 
не связано с получением нуля в позиции 
Экономный метод запоминания, связанный с численной устойчивостью, состоит в следующем. Из значений 
запоминается то, абсолютная величина которого меньше, а два последних разряда используются для указания того, был ли записан 
и для знака незаписанной величины.
основных шагов. Перед 
шагом первые 
столбцов матрицы А о уже приведены к верхней форме Хессенберга, так что
