Единственность ортогональной триангуляризации
53. Если через
обозначим произведение ортогональных матриц преобразования, полученных из триангуляризаций Гивенса, или Хаусхолдера, то
где
ортогональная,
верхняя треугольная. Мы можем записать это в виде
Теперь мы покажем, что если
невырожденная и представлена в виде (53.2), то
по существу единственные. Если
то
так что V — также верхняя треугольная. Невырожденность
следует из невырожденности
Здесь
ортогональная и, следовательно,
Приравнивая элементы обеих частей, мы находим, что У должна иметь вид
Итак, с точностью до знаков столбцов
и строк
разложение (53.2) единственное. Аналогично, если
о — комплексная и невырожденная
мы можем показать, что унитарная триангуляризация единственна с точностью до умножения на диагональную матрицу с элементами, по модулю равными единице.
Читатель, возможно, пожелает узнать, не равно ли произведение матриц вращения, которые дают нули в
столбце при триангуляризации Гивенса, матрице отражения, которая дает те же нули в преобразовании Хаусхолдера. Что это не так, можно сразу же увидеть, если рассмотреть вращения, которые дают нули в первом столбце. Это вращения в плоскостях
Перемножая соответствующие матрицы, мы видим, что произведение имеет вид
приведенный здесь для
. В указанной позиции всегда есть треугольник нулевых элементов. С другой стороны, первая матрица в преобразовании Хаусхолдера в этой позиции, вообще говоря, не имеет ни одного нулевого элемента и во всяком случае симметричная.