Единственность ортогональной триангуляризации

53. Если через обозначим произведение ортогональных матриц преобразования, полученных из триангуляризаций Гивенса, или Хаусхолдера, то

где ортогональная, верхняя треугольная. Мы можем записать это в виде

Теперь мы покажем, что если невырожденная и представлена в виде (53.2), то по существу единственные. Если

то

так что V — также верхняя треугольная. Невырожденность следует из невырожденности Здесь ортогональная и, следовательно,

Приравнивая элементы обеих частей, мы находим, что У должна иметь вид

Итак, с точностью до знаков столбцов и строк разложение (53.2) единственное. Аналогично, если о — комплексная и невырожденная

мы можем показать, что унитарная триангуляризация единственна с точностью до умножения на диагональную матрицу с элементами, по модулю равными единице.

Читатель, возможно, пожелает узнать, не равно ли произведение матриц вращения, которые дают нули в столбце при триангуляризации Гивенса, матрице отражения, которая дает те же нули в преобразовании Хаусхолдера. Что это не так, можно сразу же увидеть, если рассмотреть вращения, которые дают нули в первом столбце. Это вращения в плоскостях

Перемножая соответствующие матрицы, мы видим, что произведение имеет вид

приведенный здесь для . В указанной позиции всегда есть треугольник нулевых элементов. С другой стороны, первая матрица в преобразовании Хаусхолдера в этой позиции, вообще говоря, не имеет ни одного нулевого элемента и во всяком случае симметричная.