Спектральное число обусловленности матрицы по отношению к проблеме собственных значений

30. Пусть А — матрица с линейными элементарными делителями и такая матрица, что

Если X — собственное значение то матрица особенная, и, следовательно, ее определитель равен нулю. Тогда имеем

и, сосчитав определитель, видим, что матрица справа в (30.2) также должна быть особенной. Мы различаем два случая. Случай при некотором

Случай при всех так что можно написать

и, сосчитав определители, снова видим, что матрица в скобках должна быть особенной. Но если ( особенная, мы должны иметь

1 для всех норм, так как если ни одно из собственных значений не может быть нулем. Следовательно, мы имеем, в частности,

что дает

т. е.

Следовательно, в любом случае

по крайней мере при одном значении где

Ввиду зависимости к от спектральной нормы матрицы его часто называют спектральным числом обусловленности (см. гл. 4, § 3). Мы показали, что общая чувствительность собственных значений А зависит от величины к так что к можно рассматривать как число обусловленности А по отношению к проблеме собственных значений. Результат, который мы доказали, принадлежит Бауэру и Файку (1960).

Заметим, что (30.6) справедливо для любой нормы, для которой

и, следовательно, это верно как для так и для Так как это верно для это верно тем самым для евклидовой нормы.

Используя понятие непрерывности так же, как при доказательстве второй теоремы Гершгорина, мы можем более аккуратно локализовать корни. Это приведет к следующему результату. Если кругов

образуют связную область, которая изолирована от остальных, то в этой области находится точно собственных значений. Заметим, что в этом результате мы не требуем, чтобы было мало.