Вычисление собственных векторов трехдиагональной матрицы

48. Теперь обратимся к вычислению собственных векторов симметричной трехдиагональной матрицы С. Опять предположим, что ни один элемент не равен нулю, так как в противном случае, как указано в § 36, проблема определения собственных векторов матрицы С сводится к аналогичной проблеме для ряда меньших трехдиагональных матриц. Предположим, что очень точные собственные значения уже получены по методу деления пополам или по некоторому другому методу сравнимой точности.

На первый взгляд проблема кажется очень простой. Мы знаем, что компоненты собственного вектора х, соответствующего удовлетворяют уравнениям

Очевидно, что не может быть нулем, так как из уравнений (48.1) и (48.2) следует, что и все другие должны тогда равняться нулю. Так как нас не интересует нормирующий множитель, то мы можем взять Простое доказательство по индукции показывает, что

Для того чтобы получить этот результат, нам нужны только уравнения (48.1) и (48.2), но полученные автоматически удовлетворяют (48.3), так как мы имеем

последнее равенство справедливо, потому что равно нулю, когда есть собственное значение.

Итак, мы имеем явные выражения для компонент собственного вектора через Мы видели, что определяли собственные значения исключительно точно, и поэтому могли бы предполояшть, что если к было очень хорошим приближением к собственному значению, то использование этих явных выражений для компонент даст хорошее приближение к собственному вектору. В действительности это не так. Покажем, что вектор, полученный таким путем при хорошем приближении к собственному значению, может содержать катастрофически большую ошибку.