Связь плохой обусловленности и почти вырожденности

12. Если матрица вырождается, то она должна иметь по крайней мере одно нулевое собственное значение, так как произведение ее собственных значений равно определителю. Естественно представить себе вырожденность как предельную форму плохой обусловленности, и поэтому заманчиво сделать вывод, что плохо обусловленная нормированная матрица должна иметь малое собственное значение. Мы только что видели, что это неверно, однако поучительно посмотреть, почему представление через предельный процесс так обманчиво.

Теперь покажем, что если фиксировано и то наименьшее по модулю собственное значение обязательно стремится к нулю, когда стремится к бесконечности, но при этом мы сможем гарантировать лишь очень медленную скорость сходимости. Для любой матрицы А существует унитарная такая, что

где строго верхняя треугольная (ср. гл. 3, § 47). Следовательно,

где потому что К — строго верхняя треугольная матрица. Для нашей цели будет пригодна совсем грубая оценка. Мы имеем

и

где X есть наименьшее по модулю собственное значение А. Итак, из

откуда

Это, конечно, показывает, что при фиксированном собственное значение стремится к нулю, когда стремится к бесконечности, но как

корень степени. Примеры, которые, мы обсудили, показывают, что в отношении знаменателя оценка вполне реальна, и мы можем построить нормированную матрицу порядка 100, имеющую число обусловленности около 2100, но с собственными значениями, большими чем 0,5.