Полные матрицы

11. Предположим, что собственные значения матрицы

А различны. Тогда, как известно, А подобна Покажем, что в этом случае подобна сопровождающей матрице. Мы докажем это, указав матрицу, которая преобразует С в Проиллюстрируем общий случай, рассмотрев случай Рассмотрим матрицу

Если все различны, эта матрица неособенная, и мы имеем

Далее, соотношение

следует из того, что

Следовательно,

так что С подобна следовательно, любой матрице с собственными значениями

Возвращаясь к случаю нескольких кратных собственных значений, мы сразу видим, что если матрица А имеет два или более линейно независимых собственных вектора, соответствующих то она не может быть подобна С.

Действительно, ранг равен при любом значении X, так как определитель матрицы порядка в нижнем левом углу, очевидно, равен единице. Собственный вектор соответствующий собственному значению равен

что можно увидеть, решая систему

Для того чтобы матрица была подобна сопровождающей матрице своего характеристического полинома, необходимо, чтобы в ее каноническую жорданову форму входила только одна жорданова подматрица, соответствующая каждому различному собственному значению. Сейчас мы докажем, что это условие также и достаточно и снова приведем доказательство лишь для некоторого простого случая.

12. Рассмотрим матрицу четвертого порядка, элементарные делители которой равны Такая матрица подобна матрице А 4, равной

Матрица

очевидно, неособенная, если различны, и мы имеем

Так как двукратный корень характеристического уравнения то что дает

и, следовательно

Аналогичным образом мы можем поступить с жордановой подматрицей порядка связанной с матрицей порядка Если соответствующее собственное значение, то столбцов матрицы имеют вид

Таким образом, предполагая, что каждому различному собственному значению соответствует лишь одна жорданова подматрица, и, следовательно, лишь один собственный вектор, мы получим, что матрица подобна сопровождающей матрице своего характеристического полинома. Такие матрицы называются полными.