Связь между LR- и QR-алгорифмами
51. 
-алгорифм и 
-алгорифм Холецкого очень тесно связаны. На самом деле, имеем
и, следовательно,
или
Но из (50.5) следует, что
Следовательно, мы имеем две факторизации Холецкого матрицы 
и так как они должны совпадать, находим
Из (50.3) имеем
а из уравнений, определяющих 
-алгорифм,— 
Следовательно, 
матрица, полученная по 
-алгорифму Холецкого, равна 
матрице, полученной при использовании 
-алгорифма. (Этот результат несправедлив для несимметричных матриц, но он, возможно, демонстрирует большую силу 
Наше доказательство справедливо как для положительно определенных матриц, так и для произвольных симметричных. (Конечно, мы требуем, чтобы они были неособенными, так как иначе треугольная факторизация 
не единственна.)
QR-алгорифм всегда дает вещественные матрицы, если 
вещественная, и, следовательно, 
-алгорифм Холецкого должен давать вещественные 
даже если 
комплексные. В случае матрицы (50.6) имеем
Еще более важным является тот факт, что 
-алгорифм сохраняет 
-норму и евклидову норму, и ни один элемент 
не может стать большим. Это неверно для 
-алгорифма Холецкого, если только 
не положительно определенная. Матрица 
может иметь сколь угодно большие элементы, но элементы 
обязательно должны вернуться к нормальным размерам. Пример неустойчивости приведен в табл. 4. Здесь 
значительно
Таблица 4
«больше 
Несмотря на то, что вычисленная 
вещественная, произошла полная потеря точности собственных значений. Для сравнения дана точная 
.
