Практическое приложение

33. Единственное ограничение на матрицу заключается в том, что она должна удовлетворять уравнению (32.1). Теоретически это дает некоторую свободу в выборе но на практике выбирается таким образом, чтобы минимизировать число вычислений. Если положить где матрииы -го порядка, то

очевидно, что простейшийвыбор будет

Если мы обозначим

что

так что имеет равные нулю элементы в строках с 1-й до Оставшиеся собственные значения совпадают с собственными значениями

На практике мы не можем взять первые строк X, а должны использовать схему главных элементов для выбора подходящих строк. Если это сделано, можно проверить, что матрица (которая является той частью , которая действительно используется при дальнейших итерациях) совпадает с соответствующей частью исчерпанной матрицы, полученной по методу § 23.

Однако значительно более удобно перед выполнением исчерпывания привести инвариантное подпространство X к стандартной трапециевидной форме. Эта форма получается в результате разложения соответствующей части в произведение треугольных с выбором главного элемента по столбцу. Таким образом, игнорируя выбор главных элементов для удобства обозначений, можем написать

где и обычно имеют вид

Здесь нижняя единичная трапециевидная матрица, верхняя треугольная матрица порядка. Очевидно, что если X — инвариантное подпространство, то это же верно для так что мы всюду можем использовать вместо Так как теперь подматрица соответствующая есть нижняя единичная треугольная матрица порядка, вычисление довольно просто.

Снова, если А имеет много нулей, мы можем использовать (33.2) в виде

если это более экономно. Из (33.3) мы знаем, что инвариантное подпространство матрицы имеет первые строк равными нулю, и, следовательно, при итерировании с можем начинать с начального такой

же формы, и все останутся в этой же форме. Если мы обозначим

то получается из при помощи вычитания столбцов умноженных на множители так, чтобы пропали первых строк. Это довольно просто, так как это единичная трапециевидная матрица.