Анализ ошибок треугольного разложения
40. Как и в методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, мы могли бы ожидать, что максимум 
полученных по алгорифму последнего параграфа, редко должен существенно превышать максимум 
и в действительности для плохо обусловленных матриц 
обычно будут меньше, чем 
Если необходимо, то дополнительный контроль величины элементов может быть достигнут способом, аналогичным способу § 28. Мы нормируем А так, что 
и при накоплении 
проверяем скалярное произведение после каждого сложения; если по абсолютному значению оно превышает 1/2, то мы делим 
или 
и все элементы 
в строке 
или 
на 2. Заметим, что во время накопления 
или 
может потребоваться более чем одно такое деление. Как и в методе Гаусса, мы надеемся, что эти деления будут встречаться редко.
Мы знаем, что за исключением ошибок округления 
равно 
с переставленными строками Чтобы упростить запись, будем использовать 
для обозначения этой переставленной матрицы, так что теперь нам нужна оценка для 
Предполагая, что деления на 2 не были необходимыми, имеем
где опять 
относятся к вычисленным значениям, Следовательно,
Аналогично для вычисленных 
получаем
Собирая члены 
одну сторону, из (40.2), (40.3), (40.4) находим, что
Так как мы предполагаем, что 
то видим, что все 
удовлетворяют неравенству 
но если некоторые 
много меньше единицы, то многие из элементов 
будут существенно меньше, чем 
Соотношения (40.6) показывают, что треугольное разложение с перестановками должно быть существенно более точным процессом, если мы можем накапливать скалярные произведения. В том случае, когда элементы А не представлены точно 
-разрядными числами, ошибки, сделанные при первоначальном округлении до 
разрядов, обычно влияют так же, как и все ошибки округления в триангуляризации. Заметим, что мы вынуждены сказать «обычно», для того чтобы учесть те редкие случаи, когда даже при использовании перестановок некоторые элементы 
существенно больше элементов А.
Внизу табл. 4 дано точное произведение 
для сравнения с 
Видно, что максимальная разность равна 0,00003915 и соответствует элементу 
Она меньше, чем максимальное значение одной ошибки округления.
