Дополнительные замечания

Настоящий интерес к методу Якоби появляется в основном после его переоткрытия в 1949 г. Голдстайном, Мюрреем и Нейманом, хотя он использовался на настольных вычислительных машинах в Национальной физической лаборатории в 1947 г. Необходимость записывать много результатов промежуточных вычислений делает метод Якоби существенно более эффективным на быстродействующих вычислительных машинах. С 1949 г. метод получил широкое освещение в литературе; мы упомянем статьи Голдстайна, Мюррея и Неймана (1959), Грегори (1953), Хенричи (1958а), Попе и Томпкинс (1957), Шенхаге (1961) и Уилкинсона (1962с). Статья Голдстайна и др. дает анализ ошибок процесса; большая часть работы была выполнена к 1951 г., хотя не публиковалась до 1959 г.

Общее превосходство метода Гйвенса над методом Якоби для определения собственных значений получало признание сравнительно медленно, несмотря на то, что Гивенс (1954) дал строгий априорный анализ ошибок, который, по моему мнению, является одним из поворотных пунктов в истории этого вопроса. Вероятно, факт, что методы, предложенные для вычисления собственных векторов, были найдены ненадежными, привел к неоправданному подозрению в отношении точности собственных значений.

Впервые Хаусхолдер предложил использование матриц отражения для приведения к трехдиагональной форме в лекции, прочитанной в Урбане в 1958 г., и снова коротко упоминает об этом в совместной статье с Бауэром (1959). Общее превосходство этого метода над методом Гйвенса как по скорости, так и по точности было впервые обнаружено Уилкинсоном (1960а). Анализ ошибок для преобразований с фиксированной запятой был дан Уилкинсоном (1962b), для преобразований с плавающей запятой — Ортега (1963).

Вычисление собственных значений трехдиагональных матриц, использующее свойство последовательности Штурма, и анализ ошибок были описаны Гивенсом (указанная работа). Этот анализ, относящийся к вычислению с фиксированной запятой и специальным нормированием, и был первым анализом, в котором явно сказано о том, что теперь известно как обратный анализ ошибок, хотя неявно эта идея присутствовала в статьях Неймана и Голдстайна (1947) и Тюринга (1948).

Задача вычисления собственных векторов трехдиагональной матрицы, когда известны хорошие приближения собственных значений, была рассмотрена Брукером и Сумнером (1956), Форсайтом (1958), Уилкинсоном (1958а) и Ланцошем в статье Россера и др. (1951). Обратная итерация дает очень удовлетворительное решение задачи, когда речь идет о достаточно хорошо разделенных собственных значениях.

Задача определения полной надежной цифровой информации в подпространстве, натянутом на собственные векторы, соответствующие совпадающим или патологически близким собственным значениям, никогда не была хорошо решена. Аналогичная задача имеет значение также в связи с определением собственных векторов матриц Хессенберга и обсуждается в главе 9.

Решение полной проблемы для недостаточно удовлетворительно, когда В плохо обусловлена в отношении обращения. То, что конечные собственные значения могут быть хорошо определены даже тогда, когда В вырождена, иллюстируется на примере матриц

Мы имеем так что собственные значения суть и Малые изменения в вносят малые изменения в конечное собственное значение, но бесконечное становится конечным, хотя и очень большим.

Если А хорошо обусловлена и положительно или отрицательно определена, то мы можем соответственно работать с или . К сожалению, мы заранее не всегда будем знать, какая из матриц А или В плохо определена, хотя в некоторых задачах статистической или теоретической физики хорошая обусловленность В почти гарантируется.

В плохо обусловленном случае метод § 68 имеет некоторое преимущество в том, что вся плохая обусловленность В концентрируется в малых элементах Матрица из (68.5) имеет определенное количество строк и столбцов с большими элементами (соответствующими малым и собственные значения матрицы нормальной величины вероятнее всего должны сохраняться.