Влияние ошибок округления

12. Вычисление определенных (11.5), почти необходимо проводить с плавающей запятой. Вычисляемая хтвыражается через вычисленные при помощи соотношения

где

Следовательно, мы имеем точные вычисления для матрицы с элементами равными

Все эти элементы имеют малую относительную ошибку, кроме, быть может, Однако мы интересуемся только теми значениями z, для которых

и, следовательно,

что показывает, что это возмущение мало по сравнению с любой нормой А.

Для иллюстрации рассмотрим случай, когда все элементы А по модулю ограничены единицей, так что

Тогда эквивалентное возмущение матрицы, являющееся функцией от равномерно ограничено матрицей которая при имеет вид

а так как , то

Снова мы находим, что ошибки, сделанные при вычислении, вряд ли будут серьезными, если только собственные значения не чрезвычайно чувствительны к вышеуказанным возмущениям элементов формы Хессенберга. Мы показали в главе 6, что существует несколько очень устойчивых методов приведения матрицы к форме Хессенберга. Следовательно, обычной точности, вообще говоря, достаточно и для приведения, и для последующих вычислений, если только исходная матрица не слишком плохо обусловлена.